シルクジャスミンの葉っぱがべたつきが出てきたのですが、何が原因でしょうか?また病気なら対処方法を教えてください。よろしくお願いします。

現物を見ないとはっきり言えませんが、一般的にべたつきの原因はアブラムシの排泄物と思われます。
アブラムシが原因の場合は、マラソン乳剤等の殺虫剤で防除してください。